Encontre y'' diferenciando implicitamente.

x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui, iremos derivar implicitamente a equação que nos foi dada. Iremos fazer isso duas vezes, já que queremos a derivada segunda.

Aqui iremos utilizar em algum momento a regra da cadeia, ela é utilizada quando temos uma composição de funções, uma função dentro de outra função ou no caso de derivação implícita.

A regra da cadeia é a seguinte:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

1. Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x :

d d x x 3 + y 3 = d d x 1

3 x 2 + 3 y 2 d y d x = 0

2. Isolamos ( d y d x ) :

3 y 2 d y d x = - 3 x 2

d y d x = - 3 x 2 3 y 2 = - x 2 y 2

Passo 3

3. Diferenciamos novamente em relação a x para encontrar ( y ' ' ) :

d d x d y d x = d d x - x 2 y 2

Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - - x 2 y 3 d y d x

Substituímos ( d y d x ) que havíamos encontrado anteriormente:

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - - x 2 y 3 - x 2 y 2

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - x 4 y 5

Assim, a segunda derivada y ' ' da função implícita x 3 + y 3 = 1 é:

y ' ' = - 2 x y 2 - x 4 y 5

Resposta

y ' ' = - 2 x y 2 - x 4 y 5

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