Enunciado

5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

19. g t = t 3 e 5 t

Passo 1

Para derivarmos essa função precisamos da regra do produto:

u ⋅ v ' = u ' v + v ' u

Aplicando à nossa equaç��o

g ' t = d d t t 3 ⋅ e 5 t + d d x e 5 t ⋅ t 3

g ' t = 3 t 2 ⋅ e 5 t + 5 e 5 t ⋅ t 3

Vamos deixar o e 5 t em evidencia:

g ' t = 3 t 2 + 5 t 3 ⋅ e 5 t

Essa é a primeira derivada.

Passo 2

E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente, usando a regra do produto:

g ' ' t = d d t 3 t 2 + 5 t 3 ⋅ e 5 t + d d x e 5 t ⋅ 3 t 2 + 5 t 3

Derivada do polinômio:

g ' ' t = 6 t + 1 5 t 2 ⋅ e 5 t + 5 e 5 t ⋅ 3 t 2 + 5 t 3

Mais uma vez vamos deixar o e 5 t em evidencia:

g ' ' t = 6 t + 15 t 2 + 15 t 2 + 25 t 3 ⋅ e 5 t

g ' ' t = 6 t + 30 t 2 + 25 t 3 ⋅ e 5 t

Resposta

g ' t = 3 t 2 + 5 t 3 ⋅ e 5 t

g ' ' t = 6 t + 30 t 2 + 25 t 3 ⋅ e 5 t

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