Enunciado

(a) Se f x = 1 + x 2 / x , encontre f ' x .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = 1 + x 2 x

E nosso objetivo é calcular f ' x .

Tem ideia de como fazemos isso?

A primeira coisa que observamos nesse problema é que se trata de uma razão de duas funções de x , portanto para calcular sua derivada podemos usar a regra do quociente.

y = u v ,     y ' = u ' v - v ' u v 2

Nesse caso, u = 1 + x 2 e v = x

Bora começar!

Passo 2

Aplicando a regra do quociente na nossa função:

f ' x = d d x 1 + x 2 ⋅ x - d d x x ⋅ 1 + x 2 x 2

Vamos começar calculando a derivada de 1 + x 2 ...

Precisamos da regra da cadeia para derivar a raiz quadrada, pois dentro dela temos outra função.

A regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso, temos que a função de fora é a raiz quandrada:

f g x = g x

e sua derivada é:

f ' g x = 1 2 g x

Já a função de dentro é

g x = 1 + x 2

que derivando fica:

g ' x = 2 x

Então a derivada da função fica:

d d x 1 + x 2 = f ' g x ⋅ g ' x

d d x 1 + x 2 = 1 2 g x ⋅ 2 x

d d x 1 + x 2 = x 1 + x 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

A outra derivada que temos é a derivada de x , ou seja

d x d x = 1

Agora só falta juntar as funções e escrever a função final:

f ' x = d d x 1 + x 2 ⋅ x - d d x x ⋅ 1 + x 2 x 2

f ' x = x 1 + x 2 ⋅ x - 1 ⋅ 1 + x 2 x 2

Vamos colocar todo o numerador em um único denominador...

Pra isso multimplicamos e dividimos o termo 1 + x 2 por 1 + x 2 .

f ' x = x 2 - 1 + x 2 ⋅ 1 + x 2 1 + x 2 x 2

Simplificando...

f ' x = x 2 - 1 + x 2 x 2 1 + x 2

f ' x = - 1 x 2 1 + x 2

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = - 1 x 2 1 + x 2

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O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (tal como um amortecedor em um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma funçã