Enunciado

22.

(a) Se f x = e x - x 3 , encontre f ' x e f ' ' x .

(b) Para ver se sua respostas para a parte (a) são razoáveis, compare os gráficos de f ,   f ' e f ' ' .

Passo 1

Aplicando a derivada:

f ' x = d d x e x - x 3

Derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' x = d d x e x - d d x x 3

A derivada da exponencial é ela mesma e a derivada de um polinômio é só baixar o expoente e diminuir um do expoente:

f ' x = e x + 3 x 2

Passo 2

E para achar a derivada segunda �� só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:

f ' '   x = d d x e x + 3 x 2

Mais uma vez, a derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ' x = d d x e x + d d x 3 x 2

f ' ' x = e x + 6 x

Passo 3

Para comparar os gráficos vamos colocar essas funções em algum software, vou usar o GeoGebra que é online e bem fácil de usar, é só escrever a equação que aparece a função:

As funções são sim razoáveis, pois:

Quando f x atinge seus máximos e mínimos a função que calculamos como sendo sua derivada realmente se econtra no 0 , como era de se esperar, além de que, quando f x está crescendo, f ' x é positiva e quando f x está decrescendo f ' ( x ) é negativo.

Já quando f ' x atinge seus máximos e mínimos f ' ' x está em 0 e assim como com f x e com f ' x , quando f ' x está crescendo, f ' ' x é positiva e quando f ' x está decrescendo f ' ' ( x ) é negativo.

Resposta

f ' x = e x + 3 x 2

f ' ' x = e x + 6 x

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