Enunciado

27. Se f θ = cotg ⁡ θ , encontre f ' ' ' ( π / 6 )   .

Passo 1

Derivando nossa equação pela primeira vez::

f ' θ = d d θ cotg ⁡ θ

A derivada da cotangente é tabelada:

f ' θ = - co sec 2 ⁡ θ

Prontinho, essa é a primeira derivada.

Passo 2

Para achar a segunda derivada é só derivar mais uma vez:

f ' ' θ = d d θ - cosec 2 ⁡ θ

Podemos tirar o sinal de menos da derivada:

f ' ' θ = - d d θ cosec 2 ⁡ θ

Dessa forma só precisamos usar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o expoente na 2 e a função de dentro é cossec ⁡ θ , então podemos escrever a equação como sendo:

f ' ' θ = - 2 cossec ⁡ θ ⋅ d d x cossec ⁡ θ

A derivada da cossecante também é tabelada:

f ' ' θ = - 2 cossec ⁡ θ ⋅ - cossec ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ

f ' ' θ = 2 cossec 2 ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ

Passo 3

E derivando pela última vez:

f ' ' ' θ = d d θ 2 cossec 2 ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ

Podemos tirar a constante para fora da derivada:

f ' ' ' θ = 2 d d θ cossec 2 ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ

Vamos usar a regra do produto, que diz:

u ⋅ v ' = u ' v + v ' u

Aplicando à nossa equação

f ' ' ' θ = 2 d d θ cossec 2 ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ + d d θ cotg ⁡ θ ⋅ cossec 2 ⁡ θ

A derivada da cotangente já resolvemos ali em cima, assim como a derivada da cossecante ao quadrado, então:

f ' ' ' θ = 2 - 2 cossec 2 ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ + - cosec 2 ⁡ θ ⋅ cossec 2 ⁡ θ

Fazendo as multiplicações:

f ' ' ' θ = - 4 cossec 2 ⁡ θ ⋅ cotg 2 ⁡ θ - 2 cossec 4 ⁡ θ

Passo 4

E então é só aplicar no ponto π / 6 :

f ' ' ' π 6 = - 4 cossec 2 ⁡ π 6 ⋅ cotg 2 ⁡ π 6 - 2 cossec 4 ⁡ π 6

f ' ' ' π 6 = - 80

Prontinho!

Resposta

f ' ' ' π 6 = - 80

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8. y = ln 2 x ; n = 2
6. y = e^(2 x + 1) ; n = 3
7. y = (1)/(e^x) ; n = 4
5. y = (1)/(x - 1) ; n = 4
2. y = a x^3 + b x^2 + c x + d ; n = 3