Enunciado

54-Seja R uma região elíptica no plano x y e defina f ( z ) como a área da parte de R que está sobre à esquerda da reta vertical x = y . Prove que f é uma função contínua de z .[Sugestão: Suponha que a elipse esteja localizada entre as retas horizontais y = a e y = b , a < b . Convença-se de que f z 1 - f ( z 2 ) ≤ b - a . z 1 - z 2 .]

Passo 1

Galerinha, vamos combinar uma coisa, ok?

f z 2 - f ( z 1 ) é a área pintada em azul (não sei se é azul mesmo, mas a gente finge que é);

As restas f   e g são respectivamente, a e b ;

A área em azul (?) é menor que a área do retângulo: b - a ( z 2 - z 1 ) .

Assim,

f z 2 - f z 1 ≤ b - a ( z 2 - z 1 )

Sem considerar necessariamente z 2 > z 1 , temos:

f z 2 - f ( z 1 ) ≤ b - a z 2 - z 1

Com isso, dá pra mostrar que f ( z ) é contínua.

Passo 2

lim z 2 → z 1 ⁡ - b - a z 2 - z 1 ≤ l i m z 2 → z 1 f z 2 - f ( z 1 ) ≤ lim z 2 → z 1 ⁡ b - a z 2 - z 1

Como:

lim z 2 → z 1 ⁡ - b - a z 2 - z 1 = lim z 2 → z 1 ⁡ b - a z 2 - z 1 = 0

Pelo Teorema do Confronto:

l i m z 2 → z 1 f z 2 - f z 1 = 0

Agora, nós temos que:

lim z 2 → z 1 ⁡ - f ( z 2 ) - f ( z 1 ) ≤ l i m z 2 → z 1 ( f z 2 - f z 1 ) ≤ lim z 2 → z 1 ⁡ f ( z 2 ) - f ( z 1 )

Amíguineos, percebam que aqui nós consideramos que um número é menor ou igual ao seu módulo e maior ou igual a menos o seu módulo.

Como,

l i m z 2 → z 1 f z 2 - f z 1 = 0

De novo pelo Teorema do Confronto nós temos que:

l i m z 2 → z 1 f z 2 - f z 1 = 0

Com isso,

lim z 2 → z 1 ⁡ f z 2 = l i m z 2 → z 1 f z 2 - f z 1 + f z 1 = f ( z 1 )

lim z 2 → z 1 ⁡ f z 2 = f ( z 1 )

Como z 2 ,   z 1 podem ser quaisquer valores e, f z 2 = f ( z 1 ) , em z = z 1 , nós provamos que f é contínua em qualquer z .

Fim!

Resposta

Demonstração acima.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

43-46 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.45- Se uma função invertível f for contínua em toda parte, então sua inversa também é contínua em toda parte.
10. Em cada parte, determine se a função é contínua ou não e explique seu raciocínio. (a) A população da Terra como uma função do tempo. (b) Sua estatura exata como uma função do tempo. (c) O custo de
57. Muitas vezes se supõe que quantidades físicas variáveis sejam funções contínuas do tempo como, por exemplo, a altitude de um objeto em queda ou o peso de uma bola de neve derretendo. Use exemplos
9. Um estacionamento para estudantes em uma universidade cobra $2,00 para a primeira meia hora (ou para qualquer fração) e $1,00 para cada meia hora subsequente (ou para qualquer fração) até uma diári
53- Prove que existem pontos diametralmente opostos no Equador terrestre em que se registra a mesma temperatura.[Sugestão: Considere a figura dada, em que aparece o Equador visto de algum ponto acima