Enunciado

55. Fórmula para soma das tangentes A fórmula padrão para a tangente da soma de dois ângulos é

tg ⁡ ( A + B ) = tg ⁡ A + tg ⁡ B 1 - tg ⁡ A tg ⁡ B

Deduza a fórmula.

Passo 1

Para conseguirmos deduzir essa fórmula, precisamos partir do que já sabemos. Nós conhecemos as fórmulas para adição do seno e do cosseno:

cos ⁡ A + B = cos ⁡ A cos ⁡ B - sen ⁡ A sen ⁡ B

sen ⁡ A + B = sen ⁡ A cos ⁡ B + cos ⁡ A sen ⁡ B

E sabemos também que

tg ⁡ A = sen ⁡ A cos ⁡ A

Só precisamos substituir as fórmulas para adição nessa ultima equação:

tan ⁡ ( A + B ) = sen ⁡ A cos ⁡ B + cos ⁡ A sen ⁡ B cos ⁡ A cos ⁡ B - sen ⁡ A sen ⁡ B

Agora vem uma sacada importante, se dividirmos tudo por cos ⁡ A cos ⁡ B todos os termos vão ser simplificados e chegaremos na expressão final:

tan ⁡ ( A + B ) = sen ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ A cos ⁡ B + cos ⁡ A sen ⁡ B cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ A cos ⁡ B - sen ⁡ A sen ⁡ B cos ⁡ A cos ⁡ B

tan ⁡ ( A + B ) = sen ⁡ A cos ⁡ A + sen ⁡ B cos ⁡ B 1 - tg ⁡ A tg ⁡ B

tan ⁡ ( A + B ) = tg ⁡ A + tg ⁡ B 1 - tg ⁡ A tg ⁡ B

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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