Enunciado

Qual é o menor comprimento de um segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e é tangente à curva y = 3 / x em algum ponto?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar é o menor comprimento de um segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e é tangente à curva y = 3 / x em algum ponto.

Esboçando isso em um gráfico, teremos mais ou menos isso aqui:

Repare que precisamos encontrar o tamanho desse segmento de reta d . Como ele é tangente a curva y = 3 / x em um ponto, podemos escrever esse ponto da seguinte maneira:

P = a ,   3 a

Mas para traçarmos uma reta tangente a esse ponto precisamos achar o coeficiente angular, que nada mais é que a derivada da função no ponto. Então, vamos derivar y ( x ) , substituir x = a . Em seguida, vamos usar Pitágoras para calcular o tamanho da reta d , assumindo um triângulo retângulo ali no gráfico e minimizar a função encontrada através do teste da primeira derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando y = 3 x em relação a x :

y ' x = - 3 x 2

Para o ponto x = a , temos:

y ' x = - 3 a 2

Então, usando a equação geral da reta ( y - y 0 = y ' ( x ) ( x - x 0 ) ) no ponto P = a ,   3 a , temos o seguinte:

y - 3 a = - 3 a 2 ⋅ x - a

Logo, a nossa reta tangente à curva é:

y = - 3 x a + 6 a

Observe que o ponto de interseção com o eixo y é 6 / a e o ponto de interseção com o eixo x é obtido fazendo y = 0 , de modo que teremos:

x = 2 a

Passo 3

Agora vamos achar o comprimento d da reta, usando a relação de Pitágoras:

d = 2 a 2 + 6 a 2

Elevando os termos ao quadrado:

d = 4 a 2 + 36 a 2

Mas a gente quer q o menor comprimento do segmento de reta, então precisamos minimizar d . Pra isso, basta minimizarmos o que está dentro da raiz. Assim,

S a = 4 a 2 + 36 a 2

Derivando:

S ' a = 8 a - 72 a 3

Igualando a 0 para achar os pontos críticos:

8 a - 72 a 3 = 0

E isolando a :

→ a 4 = 9

Portanto,

a = 3

pois estamos no 1° quadrante.

Passo 4

Agora é só conferir se isso é um ponto de mínimo mesmo. Para isso podemos usar o teste da segunda derivada.

S ' ' a = 9 + 216 a 4

Para a = 3 , vemos que S ' ' 3 > 0 →   ponto de mínimo. Agora vamos substituir a = 3 na expressão para d = 4 a 2 + 36 a 2 . Assim, temos:

d = 4 ⋅ 3 + 36 3

d = 12 + 12

d = 2 6  

Portanto, o menor comprimento de um segmento de reta é 2 6 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d = 2 6  

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