Enunciado

Suponha que y = f ( x ) seja uma curva que está sempre acima do eixo x e que não tenha tangente horizontal, em que f é derivável em toda parte. Para quais valores de y a taxa de variação de y 5 em relação a x é 80 vezes a taxa de variação de y em relação a x ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado forneceu algumas informações sobre a a função y = f ( x ) e quer saber para quais valores de y a taxa de variação de y 5 em relação a x é 80 vezes a taxa de variação de y em relação a x , ou seja, quais valores de y satisfazem a relação:

y 5 ' = 80 y '

Das informações dadas sobre f , temos que a função é derivável em toda parte e não apresenta tangente horizontal, assim, não existe nenhum ponto tal f ' x = 0 . Podemos dizer então que f ' x ≠ 0 para todo x real.

Além disso, a curva está sempre acima do eixo de x , de modo que f x > 0 para todo x ∈ R .

Sendo assim, para resolver o problema, vamos calcular a derivada de y 5 pela regra da cadeia e usar as informações obtidas sobre f . Vamos lá!

Passo 2

Derivando y 5 temos que:

y 5 ' = 5 y 4 ⋅ y '

= 5 y 4 y '

Assim, se y 5 ' = 80 y ' , devemos ter

5 y 4 y ' = 80 y '

Além disso, como f ' x ≠ 0 para todo x real, podemos simplificar y ' na equação, obtendo:

5 y 4 = 80

y 4 = 16

As soluções reais dessa equação são y = - 2 e y = 2 . Por outro lado, temos que f x > 0 para todo x real, de modo que y = - 2 não é uma solução válida. Assim, a única solução válida é y = 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 2

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