Enunciado

55–58 Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

56. ∫ 0 1 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Dada a desigualdade de integrais:

∫ 0 1 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x d x

A gente quer utilizar das propriedades de integrais para verificar essa desigualdade, sem calcular as integrais.

A ideia para resolver esse exercício está na propriedade que diz que se

f x ≤ g ( x )

em um intervalo ( a , b ) , então

∫ a b f x d x ≤ ∫ a b g ( x )

No nosso caso, precisamos mostrar que 1 + x 2 ≤ 1 + x no intervalo 0,1 , então vamos lá.

Passo 2

Sabemos que se estivermos no intervalo ( 0,1 ) ,

x 2 ≤ x

Daí somamos 1 em ambos os termos para que as igualdades não se alterem, e disso temos que

1 + x 2 ≤ 1 + x

Como temos que x ≥ 0 no intervalo que estamos estudando, podemos colocar a raiz quadrada em ambos os termos. A partir disso, temos exatamente a expressão que queríamos:

1 + x 2 ≤ 1 + x

O que garante que ∫ 0 1 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x d x , pois satisfaz as hipóteses do teorema acima citado.

Resposta

Demonstração acima.

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Faça o gráfico de f ( x ) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de comprimento igual. Em seguida, adicione os retângulos associados com a soma de Riemann ∑ k = 1 4 f ( c k ) Δ
Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n →
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