Enunciado

Se você traçar o gráfico da função

f x = 1 - e 1 / x 1 + e 1 / x

verá que f parece ser uma função ímpar. Demonstre isso.

Passo 1

O problema fornece uma função f dada por

f x = 1 - e 1 / x 1 + e 1 / x

Fazendo um esboço do gráfico dessa função, vemos que de fato ela parece ser uma função ímpar, já que ela é simétrica com relação a origem:

Passo 2

Agora vamos provar que a função é da fato ímpar. Para isso, temos que verificar que f - x = f x . Assim,

f - x = 1 - e - 1 / x 1 + e - 1 / x

Multiplicamos o numerador e o denominador por e 1 / x :

f - x = e 1 / x e 1 / x ⋅ 1 - e - 1 x 1 + e - 1 x = e 1 x - e 0 e 1 x + e 0 = e 1 x - 1 e 1 x + 1

Portanto,

f - x = - 1 - e 1 x 1 + e 1 x = - f ( x )

Provamos assim que a função é ímpar!

Resposta

Demonstração e gráfico.

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