55-Encontre lim x → π 4 ⁡ cos  ⁡ x - s e n   x x - π 4  

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição:

x - π 4 = t

Então,

x = t + π 4

Galera, só lembra que como estamos trabalhando com o t , se o x tende a π 4 o t tende a zero. Ok ???

Substituindo....

lim t → 0 ⁡ cos  ⁡ ( t + π 4 ) - s e n   ( t + π 4 ) t

Você estar se perguntando... E agora o que eu faço ???

Bom, eu tenho certeza que intuitivamente você vendo essa soma de arcos no seno e cosseno usaria isso aqui:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a cos ⁡ b

E

s e n a + b = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b   cos ⁡   a

Pode ser assustador porque o limite vai ficar giganteeee, masss não tem jeito.... Respira fundo e vamos lá !!

Passo 2

Assim,

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t × cos ⁡ π 4 -   s e n   t × s e n π 4 -   s e n   t × cos ⁡ π 4 -   s e n π 4 × c o s t t

Dessa forma,

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t × cos ⁡ π 4 t - lim t → 0 ⁡   s e n   t × s e n π 4 t - lim t → 0 ⁡ s e n   t × cos ⁡ π 4 t -   lim t → 0 ⁡ ⁡   s e n π 4 × c o s t t

Logo,

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t × 2 2 t - lim t → 0 ⁡   s e n   t × s e n π 4 t - lim t → 0 ⁡ s e n   t × cos ⁡ π 4 t -   lim t → 0 ⁡ ⁡ 2 2 × c o s t t =

- lim t → 0 ⁡   s e n   t × s e n π 4 t - lim t → 0 ⁡ s e n   t × cos ⁡ π 4 t  

Fala sério, nosso limite deu uma reduzida considerável ?!

Por fim, pelo limite trigonométrico fundamental nós temos que:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Portanto,

- lim t → 0 ⁡   s e n   t t × lim t → 0 ⁡   s e n π 4 t - lim t → 0 ⁡ s e n   t t × lim t → 0 ⁡ cos ⁡ π 4 t     =

- 1 × 2 2 - 1 × 2 2 =   - 2

Ufaaaaa.... Acabou!!!!

Resposta

- 2

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