Enunciado

Determine se a função dada é diferenciável em um valor x = x 0 , sendo que f está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de x 0 . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é uma consequência do Teorema do Valor Médio. Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .

Mostre que:

f x = x 2 - 1 6 x ,       x < 9 x ,       x ≥ 9

f é contínua em x = 9 . Determine se f é diferenciável em x = 9 . Se for, encontre o valor da derivada nesse ponto.

Passo 1

O primeiro passo é descobrir se a função é contínua em x = 9 . Para isso, precisamos que:

lim x → 9 ⁡ f ( x ) = f ( 9 )

Se isso acontecer, f é contínua em x = 9 .

Passo 2

Calculando o limite:

lim x → 9 ⁡ f ( x )

Onde:

f x = x 2 - 16 x ,       x < 9 x ,       x ≥ 9

Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.

Limite lateral pela esquerda:

lim x → 9 - ⁡ f ( x ) = lim x → 9 - ⁡ ( x 2 - 16 x ) = - 63

Limite lateral pela direita:

lim x → 9 + ⁡ f ( x ) = lim x → 9 + ⁡ x = 3

Opa, os limites laterais não coincidiram, então o limite não existe! O que nos diz que a função não é contínua em x = 9 .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o teorema do enunciado:

“Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .”

Com isso, como f não é contínua em x = 9 , ela também não é diferenciável em x = 9 .

Resposta

Não é contínua, logo não é diferenciável em x = 9 .

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Seja f x = x 5 . Calculea) f ' x b) f ' 0 c) f ' 2
Determine a reta que é tangente ao gráfico de f x = x 2 e paralela à reta y = 4 x + 2 .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = 1 x no ponto de abscissa 2 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
Seja f x = x 5 . Calcule.a) f ' x b) f ' 1 c) f ' - 32
Calcule g ' x sendo g dada por g x = x 9