Enunciado

57-60 Um medicamento pode ser ministrado a um paciente de várias maneiras. Dado um método particular, seja c ( t ) a concentração (medida em mg/L) de medicamento na corrente sanguínea de um paciente t horas depois de aplicada a dose. No intervalo 0 ≤ t ≤ b , a área entre o gráfico de c = c ( t ) e o intervalo [ 0 , b ] indica a “ disponibilidade” do medicamento para o corpo do paciente naquele período de tempo. Em cada exercício, determine qual método oferece maior disponibilidade no intervalo de tempo dado.

57- Método 1: c t = 5   e - 0,2 t - e - t ,

Método 2: c t = 4   ( e - 0,2 t - e - 3 t ) ; [0,4]

Passo 1

Gente, quando a questão fala de área uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: INTEGRAL.

Nesse exercício, nós vamos fazer a integral para a duas função, variando de 0 a 4.

Assim,

-Método 1:

∫ 0 4 5   e - 0,2 t - e - t   d t

5 ∫ 0 4 e - 0,2 t d t - 5 ∫ 0 4 e - t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,2   t

d u = - 0,2   d t

d t = - d u 0,2

Substituindo:

- 5 0,2 ∫ 0 4 e u d u = - 25   e - 0,2 t   0 4  

Já a segunda integral:

- 5 ∫ 0 4 e - t d t = 5 e - t 0 4

Logo,

∫ 0 4 5   e - 0,2 t - e - t   d t = - 25   e - 0,2 t   0 4 + 5 e - t 0 4

Assim,

- 25   e - 0,2 t   0 4 + 5 e - t 0 4 = - 11,23 + 25 + 0,092 - 5 = 8,862

Passo 2

-Método 1:

∫ 0 4 4   e - 0,2 t - e - 3 t   d t

4 ∫ 0 4 e - 0,2 t d t - 4 ∫ 0 4 e - 3 t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,2   t

d u = - 0,2   d t

d t = - d u 0,2

Substituindo:

- 4 0,2 ∫ 0 4 e u d u = - 20   e - 0,2 t   0 4  

Já a segunda integral:

u = - 3   t

d u = - 3   d t

d t = - d u 3

4 3 ∫ 0 4 e u d u = 1,33   e - 3 t 0 4

Logo,

∫ 0 4 4   e - 0,2 t - e - 3 t   d t = - 20   e - 0,2 t   0 4 + 1,33   e - 3 t 0 4

Assim,

- 20   e - 0,2 t   0 4 + 1,33   e - 3 t 0 4 = - 9 + 20 + 8,17 × 10 - 6 - 1,33 = 9,67

Como nós encontramos uma área maior para o método 2, esse é o que o oferece maior disponibilidade do medicamento.

Resposta

Método 2.

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1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.1. c) ∫ - 1 2 1 2 cos ⁡ π θ d θ ; u = π θ
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.10. ∫ - 3 0 x 1 - x d x
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.3. b) ∫ e e 2 ln ⁡ x x d x ; u = ln ⁡ x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.7. ∫ 0 1 2 x - 1 3 d x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.13. ∫ - 2 - 1 x x 2 + 2 3 d x