Enunciado

57-60 Um medicamento pode ser ministrado a um paciente de várias maneiras. Dado um método particular, seja c ( t ) a concentração (medida em mg/L) de medicamento na corrente sanguínea de um paciente t horas depois de aplicada a dose. No intervalo 0 ≤ t ≤ b , a área entre o gráfico de c = c ( t ) e o intervalo [ 0 , b ] indica a “ disponibilidade” do medicamento para o corpo do paciente naquele período de tempo. Em cada exercício, determine qual método oferece maior disponibilidade no intervalo de tempo dado.

57- Método 1: c t = 5,78   e - 0,4 t - e - 1,3 t ,

Método 2: c t = 4,15   ( e - 0,4 t - e - 3 t ) ; [0,4]

Passo 1

Gente, quando a questão fala de área uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: INTEGRAL.

Nesse exercício, nós vamos fazer a integral para a duas função, variando de 0 a 4.

Assim,

-Método 1:

∫ 0 4 5,78   e - 0,4 t - e - 1,3 t   d t

5,78 ∫ 0 4 e - 0,4 t d t - 5,78 ∫ 0 4 e - 1,3 t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,4   t

d u = - 0,4   d t

d t = - d u 0,4

Substituindo:

- 5,78 0,4 ∫ 0 4 e u d u = - 14,45   e - 0,4 t   0 4  

Já a segunda integral:

u = - 1,3   t

d u = - 1,3   d t

d t = - d u 1,3

- 5,78 - 1,3 ∫ 0 4 e - 1,3 t d t = 4,47 e - 1,3 t 0 4

Logo,

∫ 0 4 5,78   e - 0,4 t - e - 1,3 t   d t

= - 14,45 e - 0,4 t 0 4 + 4,47 e - 1,3 t 0 4

Assim,

- 14,45   e - 0,4 t   0 4 + 4,47 e - 1,3 t 0 4 = - 2,92 + 14,45 + 0,0247 - 4,47 = 7,085

Passo 2

-Método 1:

∫ 0 4 4,15   ( e - 0,4 t - e - 3 t )     d t

4,15 ∫ 0 4 e - 0,4 t d t - 4,15 ∫ 0 4 e - 3 t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,4   t

d u = - 0,4   d t

d t = - d u 0,4

Substituindo:

- 4,15 0,4 ∫ 0 4 e u d u = - 10,375   e - 0,4 t   0 4  

Já a segunda integral:

u = - 3   t

d u = - 3   d t

d t = - d u 3

4,15 3 ∫ 0 4 e u d u = 1,38   e - 3 t 0 4

Logo,

∫ 0 4 4 , 15   e - 0,4 t - e - 3 t   d t = - 10,375   e - 0,4 t   0 4 + 1,38   e - 3 t 0 4

Assim,

- 10,375   e - 0,4 t   0 4 + 1,38   e - 3 t 0 4 = - 2,095 + 10,375 + 8 , 48 × 10 - 6 - 1,38 = 6,90

Como nós encontramos uma área maior para o método 1, esse é o que o oferece maior disponibilidade do medicamento.

Resposta

Método 1.

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Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sec 4 ⁡ 3 θ d θ
Resolva os problemas de valor inicial: d y d x = 2 + s e n3 x , y π 3 = 0
Deduza a Fórmula (6) de integração.