Enunciado

57-63. Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

61. ∑ n = 0 ∞ 2 n x n

Passo 1

Colocando n em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = ∑ n = 0 ∞ 2 x n

Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso temos que a = 1 e r = 2 x , uma vez que a é o primeiro termo da sequência e r é a relação comum.

Passo 2

Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

a 1 - r

Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x ! Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

2 x < 1

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

2 < x   o u   x < - 2

E esses são os valores de x para os quais a série é convergente! Por fim, a soma será:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = 1 1 - 2 x = 1 x - 2 x = x x - 2

Resposta

2 < x   o u   x < - 2

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = x x - 2

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