Enunciado

Um paciente toma 150   m g de um fármaco, ao mesmo tempo, todos os dias. Imediatamente antes de cada comprimido que é tomado, 5 % da droga permanece no corpo.

a) Qual quantidade do fármaco no corpo depois do terceiro comprimido? Após o n-ésimo comprimido?

b) Qual quantidade da droga permanece no corpo, a longo prazo?

Passo 1

a) Então pessoal, o que devemos fazer é tentar escrever uma expressão que descreve a quantidade do fármaco no corpo depois de quaisquer quantidade de comprimidos ingeridos. Se conseguirmos estabelecer essa expressão genérica, descobrir quanto fármaco há no corpo depois de três comprimidos fica bem tranquilo, não é mesmo? Então bora lá!

O paciente toma 150   m g de um fármaco e imediatamente antes de tomar outro, 5 % da droga permanece no corpo. Tendo isso em vista, teremos:

150 + 150.5 % = 150 + 150 . ( 0,05 )

Essa é uma expressão para um comprimido só. Para dois comprimidos será:

150 + 150.5 % + 150 . 5 % 2 = 150 + 150 . 0,05 + 150 . 0,05 2

Para n comprimidos será:

150 + 150 . 0,05 + 150 . 0,05 2 + … + 150 . 0,05 n - 1

Como queremos a quantidade do fármaco, vamos precisar fazer a soma dessa série geométrica, beleza?!

Passo 2

No passo anterior conseguimos notar que a série que encontramos se trata de uma série geométrica, galera! Daí, agora precisamos calcular a soma da série geométrica, que é dada por:

s n = a ( 1 - r n ) 1 - r

No qual a é o primeiro termo da sequência e r é a razão comum. No nosso caso, a = 150 e r = 0,05 , logo:

s n = 150 ( 1 - ( 0,05 ) n ) 1 - 0,05

Dessa forma, depois do terceiro comprimido a quantidade de fármaco que permanecerá no corpo do paciente será:

s 3 = 150 ( 1 - ( 0,05 ) 3 ) 1 - 0,05 ≈ 157,875   m g

Passo 3

b) Bom, já que o enunciado não especifica quanto seria esse prazo, então podemos imaginar um prazo tão grande que tende ao infinito, não é verdade? Sendo assim, teremos que calcular o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 150 ( 1 - ( 0,05 ) n ) 1 - 0,05

Como já discutido na seção anterior do Stewart, temos o seguinte:

l i m n → ∞ r n = 0   s e   0 < r < 1

Como no nosso caso r = 0,05 < 1 , então teremos que:

l i m n → ∞ 0,05 n = 0

Dessa forma:

lim n → ∞ ⁡ 150 ( 1 - ( 0,05 ) n ) 1 - 0,05 = 150 . 1 - 0 1 - 0,05 ≈ 157,895   m g

Que equivale a 0,02   m g   a mais em relação ao terceiro comprimido!

Resposta

a)   157,875   m g

s n = 150 ( 1 - ( 0,05 ) n ) 1 - 0,05

b)   157,895   m g

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