Enunciado

62. Considere a família de curvas y = e - b x 2 b > 0 .

a) Use um recurso gráfico computacional para gerar alguns membros dessa família.

b) Discuta o efeito da variação de b na forma do gráfico e a localização tanto dos extremos relativos como dos pontos de inflexão.

Passo 1

a) Então galera, a função que nos foi dada é:

y = e - b x 2 b > 0

Encontrar alguns membros dessa família é dar alguns valores de b para a nossa função. Vale ressaltar que b > 0 .

Para b = 1 :

Para b = 4 :

Para b = 10 :

E esses são alguns membros da família de curvas que nos foi dada!

Passo 2

b) Pelos gráficos parece que quanto mais aumentamos b , mais o gráfico “afina”, mas sem alterar o ponto de máximo, que está em x = 0 . Enfim, essa é só a percepção que temos! Para provarmos isso temos que encontrar as derivadas primeira e segunda a fim de analisar os pontos de extremos e inflexões. Derivando nossa função, teremos:

f ' x = - 2 b x . e - b x 2

Igualando a zero, teremos:

- 2 b x . e - b x 2 = 0

Como e - b x 2 nunca será zero, então a única forma disso dar zero é se:

- 2 b x = 0

x = 0

Olha que interessante; assim como notamos no gráfico, há apenas um ponto de extremo, que é exatamente em x = 0 , independente do valor de b . Logo, esse é nosso ponto de extremo e quando alteramos b , ele não altera em nada! Agora vamos ver quanto aos pontos de inflexão!

Passo 3

Encontrando nossa derivada segunda, teremos:

f ' ' x = - 2 b 1 . e - b x 2 - x . 2 b x . e - b x 2

f ' ' x = 2 b - 1 + 2 b x 2 e - b x 2

Igualando a zero, teremos:

2 b - 1 + 2 b x 2 e - b x 2 = 0

1 = 2 b x 2

x = ± 1 2 b

Note que diferentemente do ponto de extremo, os pontos de inflexão dependem de b . Para a raíz positiva, quanto mais aumentarmos b , menor o valor de x será, o que implica em um y menor também. Para a raíz negativa o mesmo acontece, mas agora negativamente. Essa análise condiz com os gráficos do passo 1, uma vez que quando aumentamos os valores de b o gráfico começou a afinar.

E está aí nossa resolução, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
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