Enunciado

61. Considere a família de curvas y = x e - b x b > 0 .

a) Use um recurso gráfico computacional para gerar alguns membros dessa família.

b) Discuta o efeito da variação de b na forma do gráfico e a localização tanto dos extremos relativos como dos pontos de inflexão.

Passo 1

a) Então galera, a função que nos foi dada é:

y = x e - b x b > 0

Encontrar alguns membros dessa família é dar alguns valores de b para a nossa função. Vale ressaltar que b > 0 .

Para b = 2,3 :

Para b = 4,5 :

Para b = 10 :

E esses são alguns membros da família de curvas que nos foi dada!

Passo 2

b) A primeira percepção que temos é de que quanto mais aumentamos o valor de b , mais o gráfico “encolhe”, isso ocorre porque o expoente é negativo, então estamos aumentando o valor do denominador, o que resulta y menor, claro. Quanto aos extremos, temos que encontrar os pontos críticos da função que nos foi dada, então devemos encontrar a derivada de f x . Derivando nossa função, teremos:

f ' x = 1 . e - b x + x . - b e - b x

f ' x = 1 - b x e b x

Igualando nossa derivada a zero, teremos:

1 - b x e b x = 0

Como e b x não pode ser zero, a única forma disso ser zero é se:

1 - b x = 0

x = 1 b

Que, pelo gráfico, sabemos que se trata de um ponto de máximo!

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão do gráfico! Encontrando nossa derivada segunda, teremos:

f ' ' x = - b . e b x - 1 - b x . b . e b x e 2 b x

f ' ' x = b 2 x - 2 b e b x

Igualando nossa derivada a zero, teremos:

b 2 x - 2 b e b x = 0

Como e b x não pode ser zero, então a única forma disso ser zero é se:

b 2 x - 2 b = 0

x = 2 b

Note que assim como o ponto de extremo, o ponto de inflexão também possui b   no denominador! Se aumentarmos b , o ponto de inflexão diminui, ou seja, x é deslocado para a esquerda e se aproxima de 0 , mas nunca chega a ser. É exatamente o que notamos nos gráficos do passo 1.

E está aí nossa resolução, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = x 5 - 4 x 4 + 4 x 3
Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = 1 + x 2 3 3 - x 1 / 3
Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 + 1
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta28. Se o gráfico de f tiver uma assíntota vertical em x = 1 , então f não pode ser continua em x = 1
Em cada parte, combine a função com o s gráficos I a VIa) x 1 3 b)x 1 4 c)x 1 5 d)x 2 3 e)x 4 3 f)x - 1 3