Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

2 x - 6 4 - x

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

2 - x - 6 4 - - x = - 2 x - 6 4 +

A equação mudou, então não temos essa simetria.

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = 2 x - 6 4 - x → 0 = 2 x - 6 4 - x → 0 = 2 x - 6 → x = 3

y = 2 x - 6 4 - x = 2 ⋅ 0 - 6 4 - 0 = - 6 4 = - 1,5

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

4 - x = 0 → x = 4

Temos então uma assíntota vertical em x = 4 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que no intervalor - ∞ , 3 e 4 , ∞ a função é negativa, e no intervalo 3,4 é positiva.

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 6 4 - x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 6 x x 4 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 - 6 x 4 x - 1 = 2 - 1 = - 2

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 6 4 - x = lim x - ∞ ⁡ x 2 - 6 x x 4 x - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 2 - 6 x 4 x - 1 = 2 - 1 = - 2

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = - 2 .

Passo 6

E por último vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 2 - 0 4 - x - 2 x - 6 0 - 1 4 - x 2 = 2 4 - x - 2 x - 6 - 1 4 - x 2 =

= 8 - 2 x + 2 x - 6 4 - x 2 = 2 4 - x 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

2 4 - x 2 = 0 → 2 ≠ 0

Não temos pontos críticos.

Vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 0 4 - x 2 - 2 ⋅ 2 ⋅ 4 - x 0 - 1 4 - x 4 = - 4 - 1 4 - x 3 = 4 4 - x 3

Fazendo f ' ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto de inflexão:

4 4 - x 3 = 0 → 4 ≠ 0

Também não possui.

Passo 7

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →