Enunciado

63-66. Suponha que a água esteja fluindo a uma taxa constante para dentro dos frascos mostrados. Faça um esboço grosseiro do gráfico do nível de água y versus tempo t . Assegure-se de que o esboço mostre onde o gráfico é côncavo para baixo e para cima e destaque as coordenadas y dos pontos de inflexão.

Passo 1

Então pessoal, considerando que alguém esteja enchendo o frasco em questão a uma taxa constante, para esboçarmos de maneira muito grosseira o gráfico de y (nível de água) em função do tempo t , precisamos levar em consideração apenas uma coisa: o formato do frasco! Note que o frasco que nos foi dado possui duas variações, se liga:

De 0 até 1 o frasco vai aumentando sua largura;

De 1 até 2 o frasco vai diminuindo sua largura, de tal forma que volta a ser como no início.

Tudo bem, mas o que essas informações querem dizer? O tempo necessário para encher o frasco de 0 até 1 é o mesmo tempo utilizado para encher o frasco de 1 até 2 , então o comportamento do gráfico após o ponto de inflexão tem que ser parecido!

Passo 2

Beleza, tendo em vista as informações do passo 1, se esboçarmos o gráfico teremos algo assim:

Vale ressaltar que, de acordo com o esboço:

De 0 a 1 → Concavidade para baixo;

De 1 a 2 → Concavidade para cima;

x = 1 → Ponto de inflexão (ponto em que a concavidade muda).

Faz sentido esse ponto de inflexão, pois para x > 1 , como a região é menos larga, o frasco passa a encher mais rápido, diferentemente do que ocorre para x < 1 .

E está aí nossa resolução, galera!

Resposta

De 0 a 1 → Concavidade para baixo;

De 1 a 2 → Concavidade para cima;

x = 1 → Ponto de inflexão (ponto em que a concavidade muda).

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Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p = 0 , então diremos que p é ponto de inflexão horizontal de f . Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão horizontal de f .
Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , a ≠ 0 . Prove que f admite um único ponto de inflexão.
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p ≠ 0 , então diremos que p é ponto de inflexão oblíquo de f . Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão oblíquo de f .
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.a) f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x