Enunciado

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Faça o gráfico da função racional y = 2 - x 2 x 2 . Depois, trace y = c o s ⁡ ( 2 sec - 1 ⁡ x ) no mesmo gráfico. O que você observa? Explique.

Passo 1

As duas funções tem a mesma cara, só que a segunda função não é determinada em - 1 < x < 1 . Pois se x dentro da secante for menor que 1 eu teria que ter um ângulo cujo cosseno é maior que 1 o que não é possível.

Passo 2

Da relação trigonométrica podemos expandir a segunda função:

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x

c o s ⁡ ( 2 sec - 1 ⁡ x ) = cos 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) - sin 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x )

Como queremos achar o ângulo y tal que:

cos 2 ⁡ y - sin 2 ⁡ ( y )

Onde y é igual:

sec - 1 ⁡ x = y

sec ⁡ y = x

Para visualizarmos temos um triângulo retângulo com valor de secante igual a x, se for assim o cosseno é 1 x , fazendo a relação fundamental da trigonometria encontramos para seno:

sin 2 ⁡ y + 1 x 2 = 1 → sin ⁡ x = x 2 - 1 x

Então substituímos o que encontramos na equação que temos:

1 x 2 - x 2 - 1 x 2

O que é igual a:

2 - x 2 x 2

Resposta

Para | x | > 1 as duas funções são iguais.

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