Enunciado

Um foco de luz está a 3 km de uma praia reta. Se o foco gira com velocidade angular de 2 rpm, ache a velocidade com que a luz percorre a praia quando o foco estiver a 2 km do ponto da praia mais próximo da luz.

Passo 1

A questão contextualiza um problema que um foco de luz está girando com velocidade angular de 2 rpm e iluminando uma praia. Um esquema do problema é mostrado na figura a seguir:

Como a velocidade com que a luz percorre a praia é y ' , queremos achar y ' quando y = 2 km. Para isso, temos que lembrar que a velocidade angular é θ ' = 2 rpm. Todas as derivadas são tomadas em relação ao tempo.

Do triângulo retângulo, temos que

tan ⁡ θ = y 3

Assim,

θ = arctan ⁡ y 3

Devemos derivar essa relação e ver o que acontece!

Passo 2

Derivando a relação encontrada com relação ao tempo, temos que

θ ' = 1 1 + y 3 2 ⋅ y 3 ' = 9 9 + y 2 ⋅ y ' 3 = 3 y ' 9 + y 2

Assim, isolando y ' , obtemos que

y ' = 1 3 θ ' ( 9 + y 2 )

Antes de substituirmos θ ' e y , precisamos converter a velocidade angular de rpm para rad/min. Para isso, basta multiplicar por 2 π :

θ ' = 2   r p m = 4 π   r a d / m i n

Assim,

y ' = 1 3 ⋅ 4 π ( 9 + 2 2 )

Portanto,

y ' = 52 π 3   k m / m i n

Resposta

52 π 3   k m / m i n

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