Enunciado

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .

9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s

Passo 1

Para encontrarmos (del z)/(del s) e (del z)/(del t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(del z)/(del s) = (del z)/(del x) (del x)/(del s) + (del z)/(del y) (del y)/(del s)

(del z)/(del t) = (del z)/(del x) (del x)/(del t) + (del z)/(del y) (del y)/(del t)

As derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del s) são:

(del z)/(del x) = (3)/((3 x + 2 y))

(del x)/(del s) = s e n t

(del z)/(del y) = (2)/((3 x + 2 y))

(del y)/(del s) = - t . s e n s

E as derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del t) são:

(del z)/(del x) = (3)/((3 x + 2 y))

(del x)/(del t) = s . cos t

(del z)/(del y) = (2)/((3 x + 2 y))

(del y)/(del t) = cos s

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1, obteremos:

Para (del z)/(del s) :

(del z)/(del s) = (3)/((3 x + 2 y)) . s e n t - (2)/((3 x + 2 y)) . t . s e n s

:. (del z)/(del s) = (1)/((3 x + 2 y)) (3 s e n t - 2 t . s e n s)

Para (del z)/(del t) :

(del z)/(del t) = (3)/((3 x + 2 y)) . s . cos t + (2)/((3 x + 2 y)) . cos s

:. (del z)/(del t) = (1)/((3 x + 2 y)) ( 3 s . cos t + 2 cos s )

Resposta

(del z)/(del s) = (1)/((3 x + 2 y)) (3 s e n t - 2 t . s e n s)

(del z)/(del t) = (1)/((3 x + 2 y)) ( 3 s . cos t + 2 cos s )

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