Enunciado

7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.

14. f x = s e n x

Passo 1

Então pessoal, para encontrarmos os pontos críticos de uma função devemos derivar a mesma e igualar a zero, ok? No entanto, essa é uma função bem chatinha de se trabalhar, pois é uma função trigonométrica modular. Restringindo nossa função e em seguida derivando, teremos:

Para x > 0 , f ' x = cos ⁡ x ;

Igualando a zero, teremos:

cos ⁡ x = 0

E os valores que satisfazem essa condição são:

x = π 2 + n π ,   n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Para x < 0 , f ' x = - cos ⁡ x ;

Igualando a zero, teremos:

- cos ⁡ x = 0

E os valores que satisfazem essa condição são:

x = π 2 + n π ,   n = - 1 ,   - 2 ,   - 3 ,   …

Passo 2

Tudo bem, encontramos nossos pontos críticos, galera! No entanto, note que restringimos nossa função para x > 0 e para x < 0 , certo? Como os limites laterais são diferentes, então podemos dizer que um ponto crítico é em x = 0 . Dentre os pontos encontrados, temos que:

x = π 2 + n π ,   n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

x = π 2 + n π ,   n = - 1 ,   - 2 ,   - 3 ,   …

São pontos críticos e estacionários. Ademais:

x = 0

É um ponto crítico, mas não estacionário.

Resposta

Pontos críticos: x = π 2 + n π ,   n = ± 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   … ,   x = 0

Pontos estacionários: x = π 2 + n π ,   n = ± 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

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