Enunciado

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

k) h t = 3 - 4 t ,   t > 0 4 t + 3 ,   t ≤ 0

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta h ' t > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta h ' t < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

h ' t = - 4 ,     t > 0 4 ,     t < 0

Então gente, pelo resultado temos que para t > 0 a derivada é constante e negativa, ou seja, é um intervalo totalmente decrescente, não é mesmo? Ademais, para t < 0 a derivada é constante e positiva, ou seja, é um intervalo totalmente crescente. Resumindo o raciocínio, temos que:

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   0 ) ;

Intervalos decrescentes: 0 ,   + ∞ .

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função g de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

h t = 3 - 4 t ,     t > 0 4 t + 3 ,     t ≤ 0

h ' t = - 4 ,     t > 0 4 ,     t < 0

Passo 4

O certo seria igualarmos as derivadas a zero, no entanto, nossas derivadas são constantes, então o único ponto crítico que existirá será em t = 0 , pois a função não está definida neste ponto! Sendo assim, como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esse ponto na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

h 0 = 4.0 + 3 = 3

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: 0 ,   3 ;

Mínimo da função: Não existe.

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   0 ) ;

Intervalos decrescentes: 0 ,   + ∞ .

Máximo da função: 0 ,   3 ;

Mínimo da função: Não existe.

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