Enunciado

71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.

73. a) lim x → + ∞ ⁡ x + 1 = + ∞

Passo 1

Então galera, para esse limite em particular, no qual o resultado é + ∞ , temos que a definição diz que: só escreveremos o limite da forma na qual o enunciado nos dá se dado qualquer número positivo M , ou seja, M > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 , tal que:

f x > M

Se:

0 < x - a < δ

Ademaissss, aqui aparece outra definição, pessoal! Notem que x → + ∞ , logo: só escreveremos o limite da forma na qual o enunciado nos dá se dado qualquer número ϵ > 0 , houver um correspondente número N > 0 , tal que:

f x - L < ϵ

Se:

x > N

O que temos que fazer para resolver a questão é unir essas duas definições a fim de encontrar uma relação entre M e N , beleza? Super entendo que a definição parece extremamente confusa, mas prometo que não é um bixo de sete cabeças, galera! Então bora lá!

Passo 2

Da primeira definição temos que:

x + 1 > M

x > M - 1

Ademais, da segunda definição, temos também:

x > N

Comparando as duas restrições, teremos como resultado:

N = M - 1

Sendo assim, como encontramos uma relação entre N e M que satisfazem as definições do passo 1, podemos dizer que o limite que nos foi dado está correto, pessoal! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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1. b) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 3 , tal que, para cada ponto x no intervalo, o valor da função f x = 4 x - 5 não esteja mais longe do que 0,01 unidade do número f 3 = 7
1. c) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 4 , tal que, para cada ponto x do intervalo, o valor da função f x = x 2 não esteja mais longe do que 0,001 unidade do número f 4 = 16 .
Seja f x = x + x com L = lim x → 1 ⁡ f ( x ) e tome ϵ = 0,2 . Use um recurso gráfico e sua operação de traçar retas para encontrar um número positivo δ , tal que f x - Lϵ se 0x - 1δ .
9-16. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f no ponto a . Encontre um número δ tal que f x - Lϵ se 0x - aδ .15. lim x → 5 ⁡ 1 x = 1 5 ,ϵ = 0,05
2. Em cada parte, encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 0 , tal que, para cada ponto x do intervalo, o valor da função f x = 2 x + 3 não esteja mais longe do que ϵ unidades do númer