Enunciado

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

12. x 2 = y     ,     x = y - 2

Passo 1

Fala aee, beleza??

Sabemos que a área entre duas curvas pode ser calculada por:

A = ∫ a b f ( x ) - g ( x ) d x

Onde f ( x ) é a função que está por cima e g x é a função que está por baixo, no intervalo [ a , b ] , que é onde as funções se encontram.

Podemos achar os pontos onde as funções se encontram igualando uma à outra! Temos:

y = x 2

y = x + 2

Igualando:

x 2 = x + 2

x 2 - x - 2 = 0

Por Bháskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a

- ( - 1 ) ± ( - 1 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 2 ) 2 ( 1 )

1 ± 1 + 8 2

1 ± 3 2

Então, as raízes da equação (onde as funções vão se encontrar) são:

x 1 = 2

x 2 = - 1

Substituindo esses valores em qualquer uma das duas funções, vamos achar os valores de y correspondentes:

y = x 2

x = 2 → y = 4

E:

x = - 1 → y = 1

Então, as funções se encontram em ( - 1,1 ) e ( 2,4 ) .

Passo 2

Mas quem está por cima de quem?? O jeito mais confiável de ver isso é desenhando o gráfico das duas funções:

Então, vemos que y = x + 2 está por cima de y = x 2 no intervalo - 1,2 .

Passo 3

Opa, com essas informações, já podemos calcular a integral do passo 1:

A = ∫ a b f x - g x d x

No nosso caso:

f x = x + 2

g x = x 2

a = - 1

b = 2

Assim:

A = ∫ - 1 2 x + 2 - x 2 d x

Calculando a integral, lembrando que ∫ ( a x n ) d x = a x n + 1 n + 1 :

A = x 2 2 + 2 x - x 3 3 - 1 2

A = 2 2 2 + 2 2 - 2 3 3 - - 1 2 2 + 2 - 1 - - 1 3 3

A = 4 2 + 4 - 8 3 - 1 2 - 2 + 1 3

Logo:

A = 6 - 8 3 - 1 2 - 2 + 1 3

A = 18 - 8 3 - 3 - 12 + 2 6

A = 10 3 - - 7 6 = 2 0 6 + 7 6

Portanto:

A = 27 6

A = 9 2

Prontinho!!

Resposta

A = 9 2

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