Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

14. y 2 = - x ; x = - 2 ; x = - 4

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [ - 4 ,   - 2 ] no eixo x , já repare que o gráfico é simétrico! ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A = 2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n - w i ∆ i x

Como o gráfico é simétrico, multiplicamos por 2 pra ter a área total. E a altura dos mini retângulos será a função y ( - x ).

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n - w i ∆ i x = 2 ∫ - 4 - 2 - x   d x

Resolvendo...

2 ∫ - 4 - 2 - x   d x = 2 ∫ - 4 - 2 ( - x ) 1 2 d x

2 - 2 3 ( - x ) 3 2 - 4 - 2 = 4 3 ( 4 ) 3 2 - ( 2 ) 3 2 = 4 3 ( 8 - 2 2 ) = 1 3 ( 32 - 8 2 )

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A = 2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n - w i ∆ i x

c) A = 1 3 ( 32 - 8 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. y
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. y
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. y
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. x
Use o cálculo para encontrar a área do triângulo com os vértices dados. 0,5 ,2 ,- 2 ,5 ,1