Enunciado

78-81 Use o resultado do Exercício 75 para calcular a derivada da função f   ( x ) dada.

80- f x = x x + 1

Passo 1

Galerisss, nós podemos escrever f ( x ) assim, né ?!

f x = x   x + 1 - 1

No exercício 75 nós resolvemos aquela derivada usando a regra da cadeia, lembram ?? Aqui, nós vamos usar essa mesma regra, pois temos uma composição de funções.

g x = u = ( x + 1 )

h x = u - 1

Pela regra da cadeia, nós temos que:

t ´ x = h ´ g x × g ´ ( x )

Masss pera aêaêaê.... A gente tem um ' x ' sobrando do lado de fora, o que quer dizer que vamos ter que usar a regra do produto. Que tal nos lembramos como essa regrinha funciona ???

d d x u x t x = u x d d x t x + t x d d x [ u x ]

Passo 2

O nosso u x = x e t x = x + 1 - 1 , Ok ?

Derivando u x :

Lembrando que:

d d x c   f x = c d d x [ f x ]

d d x x = 1

d d x c = 0

Dessa forma:

u ´ x = d d x x

g ´ x = 1

Derivando t ( x ) :

Lembrando que:

d d x x = 1

d d x c = 0

d d x x r = r   x r - 1

g ´ x = d d x x + d d x 1 = 1

h ´ x = - u - 2

Substituindo u por x + 1 :

h ´ x = - x + 1 - 2

Usando a regra da cadeia, temos:

t ´ x = - x + 1 - 2

Passo 3

Colocando tudo na regra do produto, temos:

d d x u x t x = u x d d x t x + t x d d x [ u x ]

f ´ x = - x x + 1 - 2 + x + 1 - 1

f ´ x = - x + x + 1 x + 1 2

Resposta

- x + x + 1 x + 1 2

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