Enunciado

Seja y = a x 2 + b x . Encontrar os valores de a e b , sabendo que a tangente à curva no ponto 1   ,   5 tem inclinação m = 8 .

Passo 1

Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a   d a   r e t a   t a n g e n t e = f ' a

Onde a representa o ponto desejado.

Podemos usar essa ideia de maneira inversa para encontrar a e b .

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva y x . Assim temos:

y = a x 2 + b x

y ' x = 2 × a x 2 - 1 + 1 × b x 1 - 1

y ' x = 2 a x 1 + b x 0

y ' x = 2 a x + b

A derivada de y x é y ' x = 2 a x + b

Passo 3

O coeficiente da reta tangente é m = 8 e passa pelo ponto 1   ,   5 . Com o coeficiente angular e o ponto, substituímos na derivada para encontrar a e b .

8 = 2 a 1 + b

Colocamos a em função de b .

b = 8 - 2 a

O ponto que pertence tanto a reta tangente quanto a curva y = a x 2 + b x , assim substituímos o ponto e a relação entre a e b que encontramos acima.

y = a x 2 + b x

5 = a 1 2 + 8 - 2 a 1

5 = a - 2 a + 8

a = 3

Temos que a = 3 , agora substituímos a na relação b = 2 a + 8 , para encontrar b .

b = 8 - 2 a

b = 8 - 2 ( 3 )

b = 2

Logo temos que a = 3 e b = 2 .

Resposta

a = 3   e   b = 2

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