Enunciado

9-14. Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

10. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n

Passo 1

Então pessoal, a questão nos pede várias coisas, então vamos tratar a questão com calma, passo a passo, ok? De início, o enunciado nos pede para calcular pelo menos dez somas parciais da série. Para calcularmos essas somas parciais, devemos fazer:

s 1 = a 1

s 2 = s 1 + a 2

s 3 = s 2 + a 3

s 9 = s 8 + a 9

s 10 = s 9 + a 10

Mas o que seriam esses termos? De forma genérica, temos que uma série é descrita da seguinte forma:

s n = ∑ n = 1 ∞ a n

No qual s n é sua n-ésima soma parcial e a n é a sequência de termos. No nosso caso, temos:

s n = ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n ⇒ a n = cos ⁡ n

Passo 2

Botando em prática o conceito abordado no passo anterior, teremos:

s 1 = cos ⁡ 1 = 0,54030

s 2 = 0,54030 + cos ⁡ 2 = 0,12416

s 3 = 0,12416 + cos ⁡ 3 = - 0,86584

s 4 = - 0,86584 + cos ⁡ 4 = - 1,51948

s 5 = - 1,51948 + cos ⁡ 5 = - 1,23582

s 6 = - 1,23582 + cos ⁡ 6 = - 0,27565

s 7 = - 0,27565 + cos ⁡ 7 = 0,47825

s 8 = 0,47825 + cos ⁡ 8 = 0,33275

s 9 = 0,33275 + cos ⁡ 9 = - 0,57838

s 10 = - 0,57838 + cos ⁡ 10 = - 1,41745

Passo 3

Ok, agora que descobrimos as dez somas parciais da série, basta plotarmos esses pontos em um gráfico juntamente com a sequência de termos, assim como o enunciado solicita. Se fizermos isso, obteremos o seguinte resultado:

No qual os pontos em azul são referentes às somas parciais da série e os pontos em vermelho são referentes aos valores da sequência de termos. Pelo gráfico podemos notar que os pontos da sequência de termos não se aproximam de 0 , o que é um indicativo de que a série é divergente. Ademais, os pontos das somas parciais não tendem a nenhum valor específico, que é mais um indicativo de que a série é divergente. Mas po, como faço para provar que é divergente ou não? Utilizemos o teste da divergência, que nos diz o seguinte:

“Se lim n → ∞ ⁡ a n = ∄ ou se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série é divergente.”

Se esses limites não derem isso, então a mesma será convergente. Fazendo o teste:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n = ∄

Sendo assim, a conclusão que tiramos é de que a série é divergente, assim como esperávamos!

Resposta

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n   é   d i v e r g e n t e

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