Enunciado

9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.

20. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 6 n + 13

Passo 1

Para determinarmos se essa série converge ou diverge teremos que utilizar o Teste da Integral, tudo bem? Temos que f x = 1 x 2 + 6 x + 13 . Para essa função temos que aplicar a integral em um intervalo em que a função seja contínua, positiva e decrescente. No nosso caso isso ocorre em 1 ,   ∞ . Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x 2 + 6 x + 13 d x

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f x d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 2 + 6 x + 13 d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 2

Antes de resolvermos essa integral, vamos tentar reescrever essa função f ( x ) de outra forma, tudo bem? Por que fazer isso? É que da maneira que está a integração se tornará complicada e a ideia aqui é simplificar SEMPRE! Sendo assim, temos:

1 x 2 + 6 x + 13 = 1 x 2 + 6 x + 13 + 9 - 9

Note que somamos 9 ao mesmo tempo que subtraímos 9 , então o resultado não se altera. Isso aqui se chama completar quadrados, beleza? Continuando, teremos:

1 x 2 + 6 x + 13 = 1 x + 3 2 + 4

Substituindo esse resultado na nossa integral:

∫ 1 t d x x + 3 2 + 4 = ∫ 1 t d x x + 3 2 + 2 ²

E essa aqui é uma integral bem conhecida, galera! Seu resultado de forma genérica é:

∫ d u u 2 + a ² = 1 a a r c   t g   u a + C

No nosso caso a = 2 e u = x + 3 , logo:

∫ 1 t d x x + 3 2 + 2 2 = 1 2 a r c   t g   x + 3 2 t 1

∴ ∫ 1 t d x x + 3 2 + 2 2 = 1 2 a r c   t g   t + 3 2 - a r c   t g   2

Passo 3

Agora que descobrimos o resultado da integral, só nos resta aplicar o limite, não é mesmo? Dessa forma:

lim t → ∞ ⁡ 1 2 a r c   t g   t + 3 2 - a r c   t g   2 = 1 2 a r c   t g   ∞ - a r c   t g   2

Para que ângulo a tangente vale ? Sim, é o ângulo π 2 ! Substituindo o resultado, teremos:

lim t → ∞ ⁡ 1 2 a r c   t g   t + 3 2 - a r c   t g   2 = 1 2 π 2 - a r c   t g   2

Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 6 n + 13   é   c o n v e r g e n t e

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