Enunciado

Ache (d y)/(d x)

Passo 1

Sabendo que y = l n (e^(4 x) - 1)/(e^(4 x) + 1)

, (d y)/(d x) será:

(d)/(d x) (l n (e^(4 x) - 1)/(e^(4 x) + 1))

E para resolver essa questão vamos começar pela regra da cadeia (d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) * (d u)/(d x) :

Antes então vamos separar as funções que vamos usar e encontrar suas derivadas:

f = l n ( u )

u = (e^(4 x) - 1)/(e^(4 x) + 1)

Passo 2

Para a derivada do f teremos:

(d)/(d u) (ln (u)) = (1)/(u)

Para a derivada do u vamos precisar aplicar a regra do quociente ((f)/(g))^' = (f^' * g - g^' * f)/(g^2) :

Logo, para isso, vamos separar as frações do numerador e do denominador e encontrar suas derivadas.

Passo 3

Para o numerador:

Derivação simples, só manter a constante:

(d)/(d x) (e^(4 x) - 1) = 4 e^(4 x)

E para o denominador:

(d)/(d x) (e^(4 x) + 1) = 4 e^(4 x)

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente do Passo 2:

= ((d)/(d x) ( e^(4 x) - 1 ) ( e^(4 x) + 1 ) - (d)/(d x) ( e^(4 x) + 1 ) ( e^(4 x) - 1 ))/(( e^4 x + 1 )^2)

= (4 e^(4 x) ( e^(4 x) + 1 ) - 4 e^(4 x) ( e^(4 x) - 1 ))/(( e^(4 x) + 1 )^2)

= (8 e^(4 x))/(( e^(4 x) + 1 )^2)

Passo 5

Retomando a regra da cadeia do Passo 1:

= (1)/(u) * (8 e^(4 x))/(( e^(4 x) + 1 )^2)

Substituindo u :

= (1)/((e^(4 x) - 1)/(e^(4 x) + 1)) * (8 e^(4 x))/(( e^(4 x) + 1 )^2)

Simplificando:

= (8 e^(4 x))/(( e^(4 x) - 1 ) ( e^(4 x) + 1 ))

Resposta

(d y)/(d x) = (8 e^(4 x))/(( e^(4 x) - 1 ) ( e^(4 x) + 1 ))

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