Ache dy / dx por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar d y d x isolado:

Vamos derivar os dois lados em função de x:

d d x ( e y ) = d d x ( l n ⁡ ( x 3 + 3 y ) )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y ' que nada mais é que o d y d x :

Passo 2

Para o primeiro termo:

d d x e y = e y y '

Para o segundo termo da equação:

d d x ln ⁡ x 3 + 3 y

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia:

f = l n ⁡ ( u )

u = x 3 + 3 y

d d u ln ⁡ u = 1 u

d d x ( x 3 + 3 y ) = 3 x 2 + 3 y '

Aplicando a regra da cadeia:

= 1 u ( 3 x 2 + 3 d d x ( y ) )

Substituindo u:

= 1 x 3 + 3 y 3 x 2 + 3 y '

Passo 4

Assim, igualando os dois termos:

e y y ' = 3 x 2 + 3 y ' x 3 + 3 y

Isolando y’

y ' = 3 x 2 + 3 y ' e y ( x 3 + 3 y )

y ' = 3 x 2 e y x 3 + 3 y + 3 y ' e y x 3 + 3 y

y ' - 3 y ' e y x 3 + 3 y = 3 x 2 e y x 3 + 3 y

e y x 3 + 3 y y ' - 3 y ' e y x 3 + 3 y = 3 x 2 e y x 3 + 3 y

y ' e y x 3 + 3 y - 3 e y x 3 + 3 y = 3 x 2 e y x 3 + 3 y

y ' = 3 x 2 e y x 3 + 3 y - 3

Resposta

d y d x = 3 x 2 e y x 3 + 3 y - 3

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