Enunciado

Ache a área da região limitada por um laço da curva r = a   s e n   n θ , onde n é um número inteiro positivo.

Passo 1

Para entender melhor essa questão precisa-se saber como é o gráfico de uma rosácea.

Passo 2

Portanto, para simplificar os cálculos vamos pegar o primeiro laço. Note que, o ponto máximo da primeira folha encontra-se com um ângulo π 2 n . Desse modo, se sabermos quando vale do inicio até o ponto máximo basta multiplicar por 2 para acharmos a área do laço.

Passo 3

Portanto, e sabendo que a área da região é dada por:

A = 1 2 ∫ α β f θ 2 d θ

A = 2 * 1 2 ∫ 0 π 2 n a s e n   n θ 2 d θ

A = a ² 1 2 ∫ 0 π 2 n ( 1 - c o s   2 n θ ) d θ

A = a 2 2   θ - s e n 2 n θ 2 n |   0 π 2 n

A = a 2 2 π 2 n = a 2 π 4 n

Resposta

a 2 π 4 n

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