Enunciado

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

4 y 2 - 7 x 2 = 56

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao dividi-la por 16

4 y 2 - 7 x 2 = 5 6 ∙ 1 5 6  

y 2 14 - x 2 8 = 1

Desta forma temos que o centro é 0 ,   0 , pois não há termo somando ou subtraindo de x e y . Além disso a 2 = 1 4 e b 2 = 8 que nos dão os valores dos eixos a = 14 e b = 2 2 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em y .

V 1 = 0 ,   0 + 14

V 1 = 0 ,   14

V 2 = 0 ,   0 - 14

V 2 = 0 ,   - 14

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim bata encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

1 4 + 8 = c 2

22 = c

F 1 = 0 ,   0 + 22

F 1 = 0 ,   22

F 2 = 0 ,   0 - 22

F 2 = 0 ,   - 22

Passo 4

As assíntotas são dadas como f y = b a y e g y =   - b a y

f y = 14 2 2 y

f y = 7 2 y

g y =   - 14 2 2 y

g y =   - 7 2 y

Resposta

C = 0 ,   0

V 1 = 0 ,   14

V 2 = 0 ,   - 14

F 1 = 0 ,   22

F 2 = 0 ,   - 22

f y = 7 2 y

g y =   - 7 2 y

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