Enunciado

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

9 y 2 - 16 x 2 = 1

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida.

y 2 1 9 - x 2 1 16 = 1

Desta forma temos que o centro é 0 ,   0 , pois não há termo somando ou subtraindo de x e y . Além disso a 2 = 1 9 e b 2 = 1 16 que nos dão os valores dos eixos a = 1 3 e b = 1 4 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em y .

V 1 = 0 ,   0 + 1 3  

V 1 = 0 ,   1 3  

V 2 = 0 ,   0 - 1 3  

V 2 = 0 ,   - 1 3  

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

1 9 + 1 16 = c 2

25 144 = c 2

5 12 = c

F 1 = 0 ,   0 + 5 12

F 1 = 0 ,   5 12

F 2 = 0 ,   0 - 5 12

F 2 = 0 ,   - 5 12

Passo 4

As assíntotas são dadas como f y = b a y e g y =   - b a y

f y = 1 4 1 3 y

f y = 3 4 y

g y =   - 1 4 1 3 y

g y =   - 3 4 y

Resposta

C = 0 ,   0

V 1 = 0 ,   1 3  

V 2 = 0 ,   - 1 3  

F 1 = 0 ,   5 12

F 2 = 0 ,   - 5 12

f y = 3 4 y

g y =   - 3 4 y

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