Enunciado

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

y 2 - x 2 + 2 y - 2 x - 1 = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos o quadrado de x e y .

y 2 + 2 y + 1 - x 2 - 2 x - 1 = 0 + 1

y 2 + 2 y + 1 - x 2 + 2 x + 1   = 1

y + 1 2 - x + 1 2 = 1

y + 1 2 1 - x + 1 2 1 = 1

Desta forma temos que o centro é - 1 ,   - 1 . Além disso a 2 = b 2 = 1 cque nos dão os valores dos eixos a = b = 1 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em y .

V 1 = - 1 ,   - 1 + 1

V 1 = - 1 ,   0

V 2 = - 1 ,   - 1 - 1

V 2 = - 1 ,   - 2

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

1 + 1 = c 2

2 = c

F 1 = - 1 ,   - 1 + 2

F 2 = - 1 ,   - 1 - 2

Passo 4

As assíntotas são dadas como f y : ( x - k ) = b a ( y - h ) e g y :   x - k = - b a ( y - h ) .

f y : x + 1 = 1 1 ( y + 1 )

f y : x = y

g y : x + 1 = - 1 1 ( y + 1 )

g y : x = - y - 2

Resposta

C = - 1 ,   - 1

V 1 = - 1 ,   0

V 2 = - 1 ,   - 2

F 1 = - 1 ,   - 1 + 2

F 2 = - 1 ,   - 1 - 2

f y : x = y

g y : x = - y - 2

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