Enunciado

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

4 y 2 - 9 x 2 + 16 y + 18 x = 29

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos o quadrado de x e y .

4 y 2 + 16 y + 16 - 9 x 2 + 18 x - 9 = 29 + 16 - 9

4 y 2 + 4 y + 4 - 9 x 2 - 2 x + 1   = 36

4 y + 2 2 - 9 x - 1 2 = 36

y + 2 2 9 - x - 1 2 4 = 1

Desta forma temos que o centro é 1 ,   - 2 . Além disso a 2 = 9   e   b 2 = 4 que nos dão os valores dos eixos a = 3  e  b = 2 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em y .

V 1 = 1 ,   - 2 + 3

V 1 = 1 ,   1

V 2 = 1 ,   - 2 - 3

V 2 = 1 ,   - 5

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

9 + 4 = c 2

13 = c

F 1 = 1 ,   - 2 + 13

F 2 = 1 ,   - 2 - 13

Passo 4

As assíntotas são dadas como f y : ( x - k ) = b a ( y - h ) e g y :   x - k = - b a ( y - h ) .

f y : x - 1 = 2 3 ( y + 2 )

f y : x = 2 3 y + 7 3

g y : x - 1 = - 2 3 ( y + 2 )

g y : x = - 2 3 y - 1 3

Resposta

C = 1 ,   - 2

V 1 = 1 ,   1

V 2 = 1 ,   - 5

F 1 = 1 ,   - 2 + 13

F 2 = 1 ,   - 2 - 13

f y : x = 2 3 y + 7 3

g y : x = - 2 3 y - 1 3

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