Enunciado

Ache (d y)/(d x) por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar (d y)/(d x) isolado

Vamos derivar os dois lados em função de x:

(d)/(d x) ( y e^(2 x) + x e^(2 y) ) = (d)/(d x) ( 1 )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y^' que nada mais é que o (d y)/(d x) :

Passo 2

Para o primeiro termo:

(d)/(d x) (y e^(2 x) + x e^(2 y)) =

Vamos dividi-lo em g ' e h '

g^' = (d)/(d x) y e^(2 x)

Usando a regra do produto e da cadeia:

g^' = 1 y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y

h^' = (d)/(d x) x e^(2 y)

Usando a regra do produto e da cadeia:

h^' = 1 e^(2 y) + 2 e^(2 y) y ' x

Encontrando o primeiro termo pela soma de g ' e h ' :

= y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y + e^(2 y) + 2 e^(2 y) y ' x

Para o segundo termo da equação:

(d)/(d x) (1)

= 0

Passo 3

Assim, igualando os dois termos:

y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y + e^(2 y) + 2 e^(2 y) y^' x = 0

Isolando y’

y^' e^(2 x) + 2 e^(2 y) y^' x = - 2 e^(2 x) y - e^(2 y)

y ' ( e^(2 x) + 2 e^(2 y) x ) = - 2 e^(2 x) y - e^(2 y)

y ' = (- 2 e^(2 x) y - e^(2 y))/(e^(2 x) + 2 e^(2 y) x)

Resposta

(d y)/(d x) = (- 2 e^(2 x) y - e^(2 y))/(e^(2 x) + 2 e^(2 y) x)

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