Ache dy / dx por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar d y d x isolado

Vamos derivar os dois lados em função de x:

d d x ( y e 2 x + x e 2 y ) = d d x ( 1 )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y ' que nada mais é que o d y d x :

Passo 2

Para o primeiro termo:

d d x y e 2 x + x e 2 y =

Vamos dividi-lo em g ' e h '

g ' = d d x y e 2 x

Usando a regra do produto e da cadeia:

g ' = 1 y ' e 2 x + 2 e 2 x y

h ' = d d x x e 2 y

Usando a regra do produto e da cadeia:

h ' = 1 e 2 y + 2 e 2 y y ' x

Encontrando o primeiro termo pela soma de g ' e h ' :

= y ' e 2 x + 2 e 2 x y + e 2 y + 2 e 2 y y ' x

Para o segundo termo da equação:

d d x 1

= 0

Passo 3

Assim, igualando os dois termos:

y ' e 2 x + 2 e 2 x y + e 2 y + 2 e 2 y y ' x = 0

Isolando y’

y ' e 2 x + 2 e 2 y y ' x = - 2 e 2 x y - e 2 y

y ' ( e 2 x + 2 e 2 y x ) = - 2 e 2 x y - e 2 y

y ' = - 2 e 2 x y - e 2 y e 2 x + 2 e 2 y x

Resposta

d y d x = - 2 e 2 x y - e 2 y e 2 x + 2 e 2 y x

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