Enunciado

Em qual(is) ponto(s) é a reta tangente à curva y 3 = 2 x 2 perpendicular à reta x + 2 y - 2 = 0 ?

Passo 1

Vamos derivar implicitamente a equação y 3 - 2 x 2 = 0 :

d d x y 3 - 2 x 2 = d d x 0

3 y 2 d d x - 4 x = 0

Isolando a derivada temos:

d y d x = 4 x 3 y 2

Passo 2

Vamos encontrar o coeficiente angular da reta x + 2 y - 2 = 0 :

y = 2 2 - x 2

y = 1 - x 2

Logo, m 1 = - 1 2 . Por ser perpendicular, temos:

m 1 × m 2 = - 1

- 1 2 × m 2 = - 1

m 2 = 2

Agora, depois de derivarmos a expressão da curva, igualamos ao coeficiente m 2 :

4 x 3 y 2 = 2           ∴         6 y 2 = 4 x     ∴       y 2 = 4 6 x

y = 2 6 x

Substituindo na expressão da curva:

  2 6 x 3 = 2 x 2

x = 6 4 3 e x 2 = - 6 4 3

Para y , temos:

y 3 = 2 6 4 y 2 2

y 1 = 0 e y 2 = 2 3

Assim, temos os pontos 6 4 3 , 0 e ( - 6 4 3 , 2 3 ) .

Resposta

6 4 3 , 0 e ( - 6 4 3 , 2 3 )

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