Encontre d^2y/dx^2 por derivação implícita.

xy + y^2 = 2

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando uma vez tudo, assim a gente fica:

x y + y 2 = 2

→ d d x x y + d d x y 2 = d d x 2

→ y + x d y d x + 2 y d y d x = 0

Vamos colocar d y / d x em evidência:

→ y + d y d x x + 2 y = 0

Logo, temos:

→ d y d x = - y x + 2 y

Passo 2

Belezinha, agora derivamos denovo com a regra do produto:

d y d x = - y x + 2 y

→ d 2 y d x 2 = - d y d x x + 2 y + y 1 + 2 d y d x x + 2 y 2

→ d 2 y d x 2 = y - x d y d x x + 2 y 2

Passo 3

Show de bola, a gente pode substituir d y d x pelo que já encontramos no passo 1:

d 2 y d x 2 = y - x d y d x x + 2 y 2

→ d 2 y d x 2 = y - x ⋅ - y x + 2 y x + 2 y 2

→ d 2 y d x 2 = y + x y x + 2 y x + 2 y 2

→ d 2 y d x 2 = y ( x + 2 y ) + x y x + 2 y 3

→ d 2 y d x 2 = 2 y x + y x + 2 y 3

Resposta

d 2 y d x 2 = 2 y x + y x + 2 y 3

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