Ache a derivada da função dada.

f(x) = 4 \* sec(raiz(x))

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a derivada da função usando tudo que já sabemos das regras de derivação incluindo a derivada das funções potência:

x r ' = r   x r - 1 ,     s e   r ≠ 0

Como a secante é 1 sobre cosseno, devemos impor a condição cos ⁡ x ≠ 0 no domínio da função. Assim, x ≠ π 2 + n π , com n ∈ Z . Portanto, o domínio de f tem as restrições

x ≥ 0       e         x ≠ π 2   1 2 + n 2 ,   n ∈ Z

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia e lembrando que a derivada da secante é secante vezes tangente:

f ' x = 4 sec ⁡ x tan ⁡ x ⋅ x '

Para x > 0 , a derivada da raiz quadrada é

x ' = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Assim,

f ' x = 2 sec ⁡ x tan ⁡ x x

Essa expressão é válida para

x > 0       e         x ≠ π 2   1 2 + n 2 ,   n ∈ Z

Resposta

f ' x = 2 sec ⁡ x tan ⁡ x x

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