Enunciado

Derive a função

f ( x ) = log 5 ⁡ ( x e x )

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, galera. Nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função:

f ( x ) = log 5 ⁡ ( x e x )

Temos uma função de log, mas dentro do log a gente tem outra função! Para resolver isso, iremos utilizar a regra da cadeia.

f ' x = d f d u d u d x  

Antes da gente definir o u precisamos usar as propriedades de log pra transformar esse log de base 5 em um de base natural e , ln ⁡ x Pra isso usamos a seguinte propriedade:

log c ⁡ b = log a ⁡ b log a ⁡ c

Então:

f x = log 5 ⁡ x e x

Se torna:

log 5 ⁡ ( x e x ) = ln ⁡ x e x ln ⁡ 5

Partiu derivar essa função aí.

Passo 2

Agora escolhemos o u :

u = x e x

Assim vamos ter:

f u = ln ⁡ u ln ⁡ 5

ln ⁡ 5 é uma constante e ln ⁡ u a gente sabe derivar! Montando a regra da cadeia:

f ' x = 1 ln ⁡ 5 ⋅ d ln ⁡ u d u ⋅ d d x x e x  

Passo 3

Fazendo cada derivada separadamente temos:

d ln ⁡ u d u = 1 u

Para calcular a derivada de u usamos a regra do produto, já que temos uma multiplicação entre duas funções:

Sendo

u = x e x

Ficamos com:

d ln ⁡ u d u = 1 x e x

Passo 4

E para

d d x x e x

A regra do produto diz que, se:

u = g ⋅ h

d u d x = d g d x ⋅ h + g ⋅ d h d x

Assim nossa derivada será:

d x e x d x = x d   e x d x + e x d x d x

Que nos dará:

d ( x e x ) d x = x e x + e x

Colocando e x e evidência, teremos:

d ( x e x ) d x = e x x + 1

Passo 5

Então temos:

f ' x = 1 ln ⁡ 5 ⋅ d ln ⁡ u d u ⋅ d d x x e x  

E substituindo, ficamos com:

f ' x = 1 ln ⁡ 5 ⋅ 1 x e x ⋅ e x x + 1

Simplificando:

f ' x = 1 + x x ln ⁡ 5

Prontinho! Derivada calculada.

Resposta

f ' x = e x + x e x ln ⁡ 5 x e x = 1 + x x ln ⁡ 5

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