Calcule a derivada indicada.

(d/dy)(tan(raiz(y)) sec(raiz(y)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Vamos aplicar a regra do produto primeiro:

d d y tan ⁡ y sec ⁡ y = tan ⁡ y ' ⋅ sec ⁡ y + tan ⁡ y ⋅ sec ⁡ y '

Agora basta calcular as derivadas restantes.

Passo 2

Agora vamos lembrar que a derivada da secante é secante vezes tangentes e a derivada da tangente é secante ao quadrado. Assim,

tan ⁡ y ' = sec 2 ⁡ y ⋅ y '

sec ⁡ y ' = sec ⁡ y  tan ⁡ y ⋅ y '

Assim, substituindo na expressão do passo 1:

d d y tan ⁡ y sec ⁡ y = sec 2 ⁡ y ⋅ sec ⁡ y + sec ⁡ y  tan ⁡ y ⋅ tan ⁡ y ⋅ y '

Portanto,

d d y tan ⁡ y sec ⁡ y = sec ⁡ y   sec 2 ⁡ y + tan 2 ⁡ y ⋅ y '

Passo 3

Vamos calcular y ' :

y ' = y 1 2 ' = 1 2 y - 1 / 2 = 1 2 y

Portanto,

d d y tan ⁡ y sec ⁡ y = sec ⁡ y 2 y   sec 2 ⁡ y + tan 2 ⁡ y

Resposta

d d y tan ⁡ y sec ⁡ y = sec ⁡ y 2 y   sec 2 ⁡ y + tan 2 ⁡ y

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