Enunciado

Ache a derivada da função g (x) = sen^(- 1) ( tgh sqrt(x) ) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função trigonométrica com uma hiperbólica em que a t gh sqrt(x) está dentro da s e n^(- 1) , daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada

( sen^(- 1) x ) ' = (1)/(sqrt(1 - x^2))

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Para isso temos a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sen^(- 1) u ) ' = (u ')/(sqrt(1 - u^2))

Passo 2

No nosso exemplo, g (x) = sen^(- 1) underset(u)(ubrace (tgh sqrt(x))) , logo u = tgh sqrt(x) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

g ' (x) = ( sen^(- 1) (tgh sqrt(x)) ) ' = ((tgh sqrt(x)) ')/(sqrt(1 - ( tgh sqrt(x) )^2))

Passo 3

Agora precisamos da derivada de tgh sqrt(x) . Pessoal, essa é a função tangente hiperbólico, ok?

Devemos lembrar que ( tgh x ) ' = sech^2 x , porém temos, no nosso exemplo, sqrt(x) no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia

( tgh sqrt(x) ) ' = ( sech^2 sqrt(x) ) * (sqrt(x)) ' = ( sech^2 sqrt(x) ) * (x^((1)/(2))) ' = ( sech^2 sqrt(x) ) * ((1)/(2) x^((1)/(2) - 1))

Aqui foi utilizada a derivada (x^n) ' = n x^(n - 1) com n = (1)/(2) .

( tgh sqrt(x) ) ' = ( sech^2 sqrt(x) ) * ((1)/(2) x^(- (1)/(2))) = (sech^2 sqrt(x))/(2 x^((1)/(2))) = (sech^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x))

Passo 4

Substituindo a derivada ( tgh sqrt(x) ) ' = (sech^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x)) em g ' (x) = ((tgh sqrt(x)) ')/(sqrt(1 - ( tgh sqrt(x) )^2)) , temos

g ' (x) = (((sech^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x))))/(sqrt(1 - ( tgh sqrt(x) )^2)) = (sech^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) * sqrt(1 - tgh^2 sqrt(x)))

Resposta

g ' (x) = (sech^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) * sqrt(1 - tgh^2 sqrt(x)))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a derivada da função g x = cos - 1 ⁡ ( tgh ⁡ 2 x ) .
Ache d y d x por derivação implícita: cot - 1 ⁡ x 2 3 y + x y 2 = 0
Ache a derivada da função G w = tan - 1 ⁡ w - 3 3 w + 1 .
Expresse as quantidades dadas em termos do logaritmo natural. cosh - 1 ⁡ 2
Um holofote está a 1 2 km de uma estrada reta e mantém sua luz focalizada em um automóvel que está viajando a uma velocidade escalar constante de 60 km/h. Ache a taxa segundo a qual o feixe de luz est