Ache a derivada da função g(x) = sen^(-1)(tgh(raiz(x))) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função trigonométrica com uma hiperbólica em que a t gh ⁡ x está dentro da s e n - 1 , daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada

( sen - 1 ⁡ x ) ' = 1 1 - x 2

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Para isso temos a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sen - 1 ⁡ u ) ' = u ' 1 - u 2

Passo 2

No nosso exemplo, g x = sen - 1 ⁡ tgh ⁡ x ⏟ u , logo u = tgh ⁡ x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

g ' x = ( sen - 1 ⁡ tgh ⁡ x ) ' = tgh ⁡ x ' 1 - ( tgh ⁡ x ) 2

Passo 3

Agora precisamos da derivada de tgh ⁡ x . Pessoal, essa é a função tangente hiperbólico, ok?

Devemos lembrar que ( tgh ⁡ x ) ' = sech 2 ⁡ x , porém temos, no nosso exemplo, x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia

( tgh ⁡ x ) ' = ( sech 2 ⁡ x ) ⋅ x ' = ( sech 2 ⁡ x ) ⋅ x 1 2 ' = ( sech 2 ⁡ x ) ⋅ 1 2 x 1 2 - 1

Aqui foi utilizada a derivada x n ' = n x n - 1 com n = 1 2 .

( tgh ⁡ x ) ' = ( sech 2 ⁡ x ) ⋅ 1 2 x - 1 2 = sech 2 ⁡ x 2 x 1 2 = sech 2 ⁡ x 2 x

Passo 4

Substituindo a derivada ( tgh ⁡ x ) ' = sech 2 ⁡ x 2 x em g ' x = tgh ⁡ x ' 1 - ( tgh ⁡ x ) 2 , temos

g ' x = sech 2 ⁡ x 2 x 1 - ( tgh ⁡ x ) 2 = sech 2 ⁡ x 2 x ⋅ 1 - tgh 2 ⁡ x

Resposta

g ' x = sech 2 ⁡ x 2 x ⋅ 1 - tgh 2 ⁡ x

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