Enunciado

Um holofote está a 1 2 km de uma estrada reta e mantém sua luz focalizada em um automóvel que está viajando a uma velocidade escalar constante de 60 km/h. Ache a taxa segundo a qual o feixe de luz está mudando de direção (a) quando o carro está no ponto da estrada mais perto do holofote e (b) quando o carro está a 1 2 km desse ponto.

Passo 1

Esse vai ser um problema de taxas relacionadas, a primeira coisa a tentar se fazer neste tipo de questão é um esboço do que está acontecendo, olhem na imagem abaixo como facilita o entendimento.

Temos a estrada reta em que o carro está, um holofote com distância de 1 2 km da estrada e marquei também os comprimentos z (não vamos usar o z ) e y . O problema quer saber a taxa segundo a qual o feixe de luz está mudando de direção, ou seja, como o ângulo α está variando em relação ao tempo.

Precisamos descobrir d α d t e temos a velocidade escalar do carro, que é a taxa de variação do nosso y em relação ao tempo, ou seja d y d t = 60 .

Passo 2

Vamos agora determinar uma expressão para α . Aplicando tangente, temos:

tan ⁡ α = y 1 / 2 = 2 y

E da função inversa temos que:

α = tan - 1 ⁡ 2 y

com - π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Tá bom por enquanto.

Passo 3

Para achar d α d t precisamos derivar implicitamente a expressão de α em relação ao tempo. Vamos então tomar a derivada de ambos os lados:

d α d t = d d t ( tan - 1 ⁡ 2 y )  

Agora devemos lembrar que tan - 1 ⁡ u ' = u ' 1 + u 2 em que u é uma função. No nosso caso, u = 2 y .

d α d t = d d t ( tan - 1 ⁡ 2 y ) = ( 2 y ) ' 1 + 2 y 2 = 2 d y d x 1 + 4 y 2

Chegamos então em:

d α d t = 2 d y d t 1 + 4 y 2

Passo 4

Agora vamos substituir d y d t = 60 .

d α d t = 2 ( 60 ) 1 + 4 y 2 = 120 1 + 4 y 2

Essa é a expressão que nos dá a taxa pedida.

Passo 5

  1. Qual a taxa quando o carro está no ponto da estrada mais perto do holofote?

Esse ponto acontece justamente quando nosso y = 0 . Vejam só lá no nosso desenho. Sendo assim, quando y = 0

d α d t = 120 1 + 4 ( 0 ) 2 = 120  

Daí o feixe de luz está mudando a direção em 120 rad/h.

Passo 6

  1. Qual a taxa quando o carro está a 1 2 km desse ponto (ponto mais perto do holofote).

Esse ponto acontece justamente quando nosso y = 1 2 . Sendo assim, quando y = 1 2

d α d t = 120 1 + 4 1 2 2 = 120 1 + 1 = 60  

Daí o feixe de luz está mudando a direção em 60 rad/h.

Resposta

  1. 120 rad/h
  2. 60 rad/h
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Ache ( f - 1 ) ' ( d ) . f x = 3 x 5 + 2 x 3 ;d = 5
Ache ( f - 1 ) ' ( d ) . f x = cos 2 ⁡ x 2 ;d = 1 4
Ache ( f - 1 ) ' ( d ) . f x = s e n ( x ) ;d = 1 2
Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: ( a ) resolva a equação para y em termos de x e expresse y como uma ou mais função de x ; ( b ) para cada função obtida em ( a ) determine se a função tem i