Calcule a integral indefinida:

∫ 3 x d x 1 - x 4

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Essa integral será resolvida por substituição, pessoal, mas antes precisamos dar uma arrumada nela, vejam só:

I = ∫ 3 x d x 1 - x 4 = ∫ 3 x d x 1 - x 2 2

Usei a propriedade a b c = a b c . Quando ela está nesse formato nós conseguimos verificar um x 2 no denominador e no númerador tem um polinômio de grau 1 , então vamos fazer a substituição, pois a derivada de um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau 1.

Passo 2

Faremos a substituição u = x 2 e derivando temos d u = 2 x d x .

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão de d u , para ficar igual a alguma parte da integral.

Multiplicando por tudo por 3 2 , ficamos com 3 2 d u = 3 2 ⋅ 2 x d x = 3 x d x .

Agora sim! Temos justamente o numerador da integral.

Passo 4

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

I = ∫ 3 x d x 1 - x 2 2 = ∫ 3 2 d u 1 - u 2 = 3 2 ∫ d u 1 - u 2

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 5

Agora resolveremos essa integral:

I = 3 2 ∫ d u 1 - u 2 = 3 2 sen - 1 ⁡ u + C

Aqui devemos lembrar que ( sen - 1 ⁡ u ) ' = 1 1 - u 2 , então essa era justamente a primitiva que precisávamos.

Não se esqueça da constante da integral indefinida, hein.

Passo 6

O último passo é voltar na variável original x . Como o problema deu uma integral indefinida na variável x , nós devemos dar a resposta nessa variável também. Lembre que u = x 2 .

∫ 3 x d x 1 - x 4 = 3 2 sen - 1 ⁡ u + C = 3 2 sen - 1 ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ 3 x d x 1 - x 4 = 3 2 sen - 1 ⁡ x 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados