Enunciado

Ache dois números não-negativos cuja soma seja 12 e tais que a soma de seus quadrados seja um mínimo absoluto.

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos montar um sistema com a e b sendo esses dois números. Dessa forma,

a + b = 12

S = a 2 + b 2

Precisamos descobrir os números tal que S seja o mínimo absoluto. Para isso, vamos isolar a na primeira equação a = 12 - b e substituir em S .

S = 12 - b 2 + b 2 = 144 - 24 b + b 2 + b 2 = 2 b 2 - 24 b + 144

S b = 2 b 2 - 24 b + 144

Perceba que agora nós temos a soma dos quadrados em função dos valores de b .

Passo 2

Para achar o mínimo absoluto, nós podemos derivar S em relação a b e perceba que temos, em termos gráficos, uma parábola com concavidade virada para cima, o que nos dá justamente um mínimo absoluto.

S ' b = 4 b - 24

Agora igualamos a 0 .

4 b - 24 = 0         →             4 b = 24           →             b = 6

Se b = 6 , então a = 6 e o mínimo absoluto será 6 2 + 6 2 = 72 .

Resposta

a = b = 6

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